帽子和幽灵

用同一种瓷砖铺满一面墙, 最后几乎总会得到重复的图案: 正方形, 六边形, 砌成错缝的砖. 找到一小片, 照着平移, 就能一直铺下去.

有一个问题是反过来问的: 有没有一种形状, 能铺满整个平面, 但无论怎么铺, 都永远不会重复?

这样的形状被叫做 einstein. 这个词和那位物理学家只是谐音, 它来自德语 ein Stein, "一块石头". 2022 年 11 月之前, 没有人找到过它.

从两万块到两块

1960 年代初, 王浩研究这类问题时猜测: 一组瓷砖只要能铺满平面, 就一定也能铺成重复的图案. 只能不重复地铺的瓷砖组, 不存在.

他的学生 Berger 证明了这个猜测是错的. Berger 找到的第一组 "只能不重复地铺" 的瓷砖, 有 20426 块.

之后的十来年, 这个数字一路往下掉. 到 1970 年代, Penrose 的风筝和飞镖只需要两块.

然后就停在了 2. 再往下就是 1, 一块瓷砖, 也就是 einstein. 这一步停了四十多年. 中间最接近的一次是 2010 年, Socolar 和 Taylor 找到了一块六边形, 但它要靠画在瓷砖上的标记规定怎么拼; 去掉标记的版本, 又不是连在一起的一整块. 所以问题一直被认为没有完全解决.

用手拼出来的

David Smith 是住在英格兰约克郡的一位退休印刷技术员, 一个喜欢瓷砖的业余爱好者. 照论文的说法, 他做的是 "开放式的视觉探索": 大部分靠手, 借助一个叫 PolyForm Puzzle Solver 的拼图软件, 把一些小形状拼起来看.

他找到的那块形状由 8 个相同的风筝形拼成, 风筝的四个角是 60°, 90°, 120°, 90°. 他觉得它像一顶帽子, 就叫它 "帽子". 也有很多人觉得它更像一件 T 恤.

他注意到两件事. 一是它能拼出很大的一片, 没有遇到拼不下去的地方. 二是无论怎么拼, 都没有出现一块可以拿来重复的单元.

我最喜欢的是第二件事. 不重复是看不见的. 没法指着一片瓷砖说 "看, 这里没有重复", 因为也许再往外铺一圈, 重复就出现了. 能看到的只有: 一直在找, 一直没找到. 他是从一样东西的缺席里, 看出了一件事.

2022 年底, 他把图发给了研究瓷砖计算的 Craig Kaplan. Kaplan 后来写道, 这封邮件里的图 "会改变我们对非周期性的理解, 更不用说我的人生".

看出来, 和证明出来

看出来和证明出来是两回事. 后来加入的还有 Joseph Samuel Myers 和 Chaim Goodman-Strauss.

计算机先给了一个侧面的证据. 一块瓷砖周围最多能完整地包上几圈同样的瓷砖, 这个圈数叫它的 Heesch 数. 铺不满平面的形状, 总会在某一圈卡住. Kaplan 的程序给帽子包了 16 圈. 也就是说, 如果帽子其实铺不满平面, 它的 Heesch 数至少是 16, 而当时的纪录是 6. Kaplan 的形容是 "对纪录的一次荒谬的跨越".

2023 年 3 月 20 日, 四个人发出了论文《An aperiodic monotile》. 里面有两份证明: 一份是计算机辅助的组合论证, 另一份是几何论证, 用到的是下面这条线.

一条线上的形状

帽子的边只有两种长度: 1 和 √3. 保持每条边的方向不变, 把这两种长度换成任意的 a 和 b, 就得到一整族形状, 论文把它们写成 Tile(a, b). 帽子是 Tile(1, √3). Smith 后来又找到一块由 10 个风筝拼成的 "海龟", 它是 Tile(√3, 1).

这一族里几乎每个形状都只能不重复地铺, 而且铺的方式彼此一一对应. 例外只有三个: 一端的 Tile(0, 1), 另一端的 Tile(1, 0), 和正中间的 Tile(1, 1). 这三个能铺成重复的图案.

帽子和海龟不是两个孤立的奇迹, 而是同一条线上的两个点. 线上几乎每一处都是 einstein.

镜子

帽子还有一个让人不满足的地方. 每一种用帽子铺满平面的方式, 都必须混进它的镜像, 也就是把帽子翻过来的那一面. 翻过来的帽子很少, 稀疏而均匀地散在没翻的帽子之间.

平面上的瓷砖本来就可以翻面, 所以这不违反规则. 但有人质疑, 正面和反面算不算 "一块" 形状. 这就留下了一个问题: 如果只许转, 不许翻, 有没有一块形状能做到?

答案在那三个例外里.

Tile(1, 1) 能铺成重复的图案, 但只有在把正面和反面混在一起铺的时候才能. 禁止翻面, 它就只能不重复地铺. 再把它的直边改成弯曲的边, 让正面和反面再也嵌不到一起, 连 "禁止翻面" 这条规则都不需要了. 改过边的形状叫做 "幽灵" (Spectre). 2023 年 5 月 28 日, 第二篇论文发了出来.

这是我第二喜欢的地方. 在第一篇论文里, Tile(1, 1) 是一个例外, 一个 "这个不算" 的点. Kaplan 写到它时用的词是 "之前被放弃的形状". 下一个问题的答案, 就在它身上.

Kaplan 说他到现在还对这第二个发现 "目瞪口呆". 他看不出任何理由, 这种更严格的不重复, 会作为帽子研究的副产品冒出来.

最后

Kaplan 的回顾文章里有一段话我很喜欢. 他说, 平面本可以不允许这种瓷砖存在, 两种可能看起来都说得通. 现在知道了答案, 像是罕见地瞥见了欧几里得平面的 "性格". 然后他写: "我很高兴它选择了允许."

一块帽子, 八个风筝. 它不需要知道整个平面长什么样. 每一处它都放得下, 每一处又都和别处有一点不同.

参考

• Smith, D., Myers, J. S., Kaplan, C. S., & Goodman-Strauss, C. (2024). An aperiodic monotile. Combinatorial Theory, 4. 预印本 2023-03-20. 王浩的猜想, Berger 的 20426 块, Smith 的探索方式, Heesch 数, Tile(a, b) 及三个例外, 镜像帽子的分布均出自此文.
• Smith, D., Myers, J. S., Kaplan, C. S., & Goodman-Strauss, C. (2024). A chiral aperiodic monotile. Combinatorial Theory, 4(2). 预印本 2023-05-28.
• Craig S. Kaplan (2025). The Path to Aperiodic Monotiles. 文中 Kaplan 的引语, 以及 "之前被放弃的形状" 出自此文.
• Einstein problem, Wikipedia: ein Stein 的词源, Socolar-Taylor 瓷砖, 发现时间, 风筝的角度.
• David Smith (amateur mathematician), Wikipedia: 职业与住地.
• Penrose tiling, Wikipedia: Penrose 的工作年代.